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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10. Sea $f(x)=\frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1}$. Halle la imagen de $f$.
Respuesta
Como vimos en clase, para responder a la pregunta de la imagen no nos queda otra opción que hacer un estudio de función completo. Recién cuando tengamos el gráfico aproximado, vamos a poder ver cuál es la imagen de $f$.
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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$ (fijate que ese denominador nunca vale cero!)
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1}$
Aplicamos L'Hopital
$\lim_{x \to +\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}} = \frac{24}{3} = 8$
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 8$ en $+\infty$. Vamos ahora con el límite en $-\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1} = 0$
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:
\( f'(x) = \frac{(24e^x)(3e^x + 1) - (24e^x)(3e^x)}{(3e^x + 1)^2} \)
Reacomodamos un poco:
\( f'(x) = \frac{72e^{2x} + 24e^x - 72e^{2x}}{(3e^x + 1)^2} \)
\( f'(x) = \frac{24e^x}{(3e^x + 1)^2} \)
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$\frac{24e^x}{(3e^x + 1)^2} = 0$
$24e^x = 0$
Esta expresión nunca vale $0$, por lo tanto $f$ no tiene puntos críticos. Y algo más, mirando la expresión de $f'(x)$ vemos que es siempre positiva. Por lo tanto $f$ es siempre creciente.
Juntando todo, vamos armando nuestro gráfico:
Entonces, viendo el gráfico que obtuvimos, la imagen de $f$ es $(0, 8)$